Partie C : repérer la position des particules dans le synchrotron (2)

Une autre possibilité pour repérer la position \(\text{P}\) de la particule dans l'anneau du synchrotron est d'utiliser ses coordonnées cartésiennes \((x_\text{P}\,;y_\text{P})\) dans le repère \(\left(\text{O}\,;\text{I}\,,\text{J}\right)\).

1. À l'aide du fichier de géométrie dynamique ci-dessous, compléter le tableau suivant. Donner les valeurs arrondies à \(10^{-2}\) près. 
\(\begin{array}{|l|l|l|l|l|l|} \hline\text{Mesure de l'angle } \widehat{\text{IOP}} \text{ en degrés} & 0 &30 & 45 &60 & 90\\ \hline \text{Abscisse } x_\text{P} & & & & & \\ \hline \text{Ordonnée } y_\text{P} & & & & & \\ \hline\end{array}\)

2. Pour certaines positions du point \(\text{P}\), on peut déterminer géométriquement les valeurs exactes des coordonnées du point \(\text{P}\). 

Considérons le cas où \(\widehat{\text{IOP}}=45\)°.
On notera \(\text{H}\) le projeté orthogonal du point \(\text{P}\) sur l'axe des abscisses.

    a. Quelle est la nature du triangle \(\text{OHP}\) ?
    b. Déterminer les longueurs des côtés du triangle \(\text{OHP}\).
    c. En déduire les coordonnées exactes du point \(\text{P}\).

3. Dans le cas où \(\widehat{\text{IOP}}\) est compris entre \(0\) et \(90\)°, exprimer \(\cos(\widehat{\text{IOP}})\) et \(\sin(\widehat{\text{IOP}})\) en fonction des coordonnées du point \(\text{P}\). On se placera dans le triangle \(\text{OHP}\) où \(\text{H}\) est le projeté orthogonal du point \(\text{P}\) sur l'axe des abscisses.